随机变量独立性

一、n维随机变量独立性

定义3.7（相互独立随机变量）

设$(X_1,X_2,\dots,X_n)$为n维随机变量，满足以下等价条件之一：

1. 概率形式：
   对任意Borel集$B_1,B_2,\dots,B_n \subseteq \mathbb{R}$，有

   $$P(X_1 \in B_1,\dots,X_n \in B_n) = \prod_{i=1}^n P(X_i \in B_i)$$

2. 分布函数形式：
   联合分布函数满足

   $$F(x_1,x_2,\dots,x_n) = \prod_{i=1}^n F_{X_i}(x_i)$$

扩展定义：
对任意一族随机变量，若其中任意有限个都相互独立，则称该族随机变量相互独立。

二、独立性判别定理

定理3.3（独立性性质与判别）

1. 子集独立性：
   若$X_1,X_2,\dots,X_n$相互独立，则任意$k$个变量$(2 \leq k \leq n)$也相互独立

2. 离散型充要条件：
   对离散型随机变量，相互独立当且仅当

   $$P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n) = \prod_{i=1}^n P(X_i=x_i) \quad \text{(联合分布列=边缘分布列乘积)}$$

3. 连续型充要条件：
   对连续型随机变量，相互独立当且仅当

   $$f(x_1,x_2,\dots,x_n) = \prod_{i=1}^n f_{X_i}(x_i) \quad \text{(联合密度=边缘密度乘积)}$$

4. 函数独立性：
   若$X_1,\dots,X_n$相互独立，则对任意可测函数$g_1,\dots,g_n$，有

   $$g_1(X_1),\dots,g_n(X_n) \text{ 相互独立}$$

三、二维正态分布独立性特例

例3.9（二维正态分布独立性条件）

对二维正态分布$(X,Y) \sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$：

• 根据定理3.3(3)与密度函数(3.10)式：

  $$f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right]}$$

• 独立性充要条件：

  $$X \text{ 与 } Y \text{ 独立} \iff \rho = 0$$

  此时联合密度退化为：

  $$f(x,y) = \left( \frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sigma_2\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}} \right)$$