随机事件与概率

随机试验

随机试验E:(1) 试验之前可知试验的一切可能结果，(确定性) (2) 每次试验之前不能确定此次试验的结果，(不确定性) (3) 试验在相同条件下可以重复进(可重复) 基本事件与复合事件:随机试验的每一个可能结果称为一个随机事件，简称事件。事件一般用 A、B、C 等表示。不可能再分解的事件称为基本事件，由若干个基本事件组成的事件称为复合事件。基本事件与复合事件的区分是相对的。 样本空间:随机试验 E 产生的所有可能的基本事件的集合称为样本空间，记为 Ω。样本空间的任一子集即为一个事件，其中必然事件记为 Ω，不可能事件记为 ∅。

事件的关系、运算和性质

注:若A,B互斥，$A\cup B=A+B$

运算律

• ​交换律
  $A \cup B = B \cup A$

• ​结合律
  $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

• ​幂等律
  $A \cup A = A$

• ​恒等律
  $A \cup \emptyset = A$

• ​全集律
  $A \cup \Omega = \Omega$

• ​交换律
  $A \cap B = B \cap A$

• ​结合律
  $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

• ​幂等律
  $A \cap A = A$

• ​空集律
  $A \cap \emptyset = \emptyset$

• ​全集律
  $A \cap \Omega = A$

• ​分配律
  $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

德·摩根对偶律

• ​集合运算对偶关系
  $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
• ​推广到无穷集合
  $\overline{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} = \bigcap_{n=1}^\infty \overline{A_n}$ $\overline{\bigcap_{n=1}^\infty A_n} = \bigcup_{n=1}^\infty \overline{A_n}$

公理化定义

$域\sigma$: 1.$\Omega \in F$

1. 若$A\in F$,则$\overline{A}\in F$
2. 若$A_i\in F$,n=1,2…,则$\cup_{n=1}^{\infty}A_n\in F$(对并操作有封闭性 ) 称F是$\Omega$中的一个域，F中的元素称为事件，称$(\Omega,F)$为可测空间

事件的概率以及计算

概率的公理化定义

设$\mathcal{F}$是样本空间$\Omega$上的一个σ域，函数$P:\mathcal{F}\to\mathbb{R}$满足：

1. ​规范性
   $P(\Omega)=1$
2. ​非负性
   $P(A)\geq0\quad(\forall A\in\mathcal{F})$
3. ​可列可加性
   若$\{A_n\}\subset\mathcal{F}\ (n=1,2,\cdots)$为两两互不相容事件序列，则：
   $P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=\sum_{n=1}^\infty P(A_n)$ 通常将$(\Omega,F,P)$称为一个概率空间

概率的性质

1. ​空集概率
   $P(\emptyset) = 0$

2. ​有限可加性
   若事件$A_1, A_2, \ldots, A_n$两两互不相容，则：
   $P\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n P(A_i)$

3. ​逆事件概率
   $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

4. ​差事件概率​（当$B \subset A$时）
   $P(A - B) = P(A) - P(B)$

5. ​概率单调性​（当$B \subset A$时）
   $P(B) \leq P(A)$

6. ​加法公式

   • 二元形式：
     $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ \quad (1.13)
   • 三元推广：
     $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

7. ​容斥原理​（n事件推广）
   $P\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n P(A_i) - \sum_{1 \leq i < j \leq n} P(A_i \cap A_j) + \cdots + (-1)^{n+1} P\left( \bigcap_{k=1}^n A_k \right)$

8. ​事件序列极限
   对于单调递增（$A_n \uparrow$）或递减（$A_n \downarrow$）序列：
   $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P\left( \lim_{n \to \infty} A_n \right)$

古典概型、经典概率

概率的统计定义: $P(A)=\frac{n_A}{n}(n比较大)$、 加法原理、乘法原理： 设事件A有n类方法出现，并设第i类方法由$m_i$种方式组成，则A的出现方式共有
$m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}$ 种。

若事件A有$m$种不同方式出现，设另有事件B对A的每一种出现方式有$n$种出现方式对应，那么AB就应以
$n \times m$
种不同方式出现。

​​说明​​

• 加法原理体现了​​并行​​的类间独立选择理念
• 乘法原理体现​​分步​​的连续操作机理

古典概型：

古典概型的试验E：

1. $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3....\omega_n\}$有限性
2. $P(\omega_1)=P(\omega_2)=...=P(\omega_n)=\frac{1}{n}$等可能
3. 定义$A=\{\omega_{a1}...\omega_{an}\}$,有$P(A)=\frac{A中包含的样本点}{总的样本点}$

几何概型

设样本空间中样本点的集合与平面（或一维、三维空间）某区域$G$一一对应，即$\Omega$可视为$G$，并设$\Omega$的样本点出现机会相等。若事件$A \subseteq \Omega$对应区域$A_0 \subseteq G$，且满足
$A_0 = A$
则定义事件$A$的​​几何概率​​为：
$P(A) = \frac{|A|}{|G|}$
其中$| \cdot |$表示几何度量（长度/面积/体积）。

​​说明​​
几何概型是古典概型的​​双重推广​​：

1. 样本空间从​​有限个孤立点​​推广到​​连续区域中的无限点集​​
2. 概率计算从​​离散计数​​转化为​​几何度量​​（线段长度/区域面积/空间体积）

​​解题关键​​
将概率问题转化为几何图形中的度量问题，需满足：

• 样本空间$\Omega$与几何区域$G$严格对应
• 事件$A$的几何表征$A_0$边界清晰可测 经典问题：蒲丰投针

条件概率与事件独立性

定义1.18 条件概率

设有随机试验$E$及事件$A$、$B$，若
$P(B) > 0$
则定义事件$A$在事件$B$发生条件下的​​条件概率​​为：
$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$
其中$P(AB)$表示事件$A$与$B$同时发生的概率。 因而可以得到乘法公式：

推广得：

​​说明​​

• 当$P(B)=0$时，条件概率无定义，但需注意概率为0的事件​​仍可能发生​​（如连续型概率中的单点事件）

定义1.19 样本空间划分

设$\Omega$为样本空间，若存在事件组$A_1,A_2,\dots,A_n \in \mathscr{F}$满足：

1. ​​互斥性​​：$A_i \cap A_j = \emptyset \ (\forall i \neq j)$
2. ​​完备性​​：$\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega$
   则称$\{A_1,A_2,\dots,A_n\}$构成对$\Omega$的一个​​划分​​。

定理1.2 全概率公式

设$\{A_1,A_2,\dots,A_n\}$为样本空间$\Omega$的划分，且$P(A_i) > 0 \ (i=1,2,\dots,n)$，则对于任意事件$B \in \mathscr{F}$，有
P(B) =\sum_{i=1}^n P(BA_i)= \sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i) \tag{1.22}

​​说明​​

• ​​核心思想​​：将复杂事件$B$分解为简单事件$\{B \cap A_i\}$的叠加
• ​​应用场景​​：
  1. 当直接计算$P(B)$困难时，寻找合适的划分$\{A_i\}$
  2. 若$B \subseteq A$，可对超事件$A$进行有效划分后应用公式

定理1.3 贝叶斯公式

设$A_1,A_2,\dots,A_n$为样本空间$\Omega$的一个划分，且$P(A_i) > 0 \ (i=1,2,\dots,n)$。对任意随机事件$B \subset \Omega$，当$P(B) > 0$时，有：

​​说明​​

• 称$P(A_i)$为​​先验概率​​（prior probability）
• 称$P(A_i|B)$为​​后验概率​​（posterior probability）
• 公式本质是通过观测结果$B$来修正对原因$A_i$发生概率的估计

定义1.20 事件独立性（双事件）

对事件$A,B$，若满足：
P(AB) = P(A)P(B) \tag{1.24}
则称$A$与$B$​​相互独立​​，记作$A \perp\!\!\!\perp B$。

​​常见误解​​：
若$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$，不能直接推导$A,B,C$相互独立，需额外验证两两独立性

定义1.21 事件独立性（多事件）

对$n$个事件$A_1,A_2,\dots,A_n$，若对任意$2 \leq k \leq n$和任意$1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n$，都有：
P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k}) = P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k}) \tag{1.25}
则称$\{A_1,...,A_n\}$​​相互独立​​。

​​特性​​：

• 三事件独立需同时满足： P(A_iA_j) = P(A_i)P(A_j) \ (\forall i \neq j) \\ P(A_1A_2A_3) = P(A_1)P(A_2)P(A_3) \end{cases} $$
• 定义包含$2^n - n - 1$个独立条件（指数级复杂度）
• 两两独立不能推出相互独立
• $A,B,C,D$相互独立，则$A\cup B,C \cup D$相互独立

定理1.4 独立性对偶定理

若事件$A,B$独立，则以下三组事件也独立：

1. $A$与$\overline{B}$
2. $\overline{A}$与$B$
3. $\overline{A}$与$\overline{B}$

​​数学表达​​：