条件分布

3.2.2 离散情形

对于离散型随机变量，可直接用条件概率计算。

定义3.5 若 $(X, Y)$ 的联合分布列为 $P(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij}$，当 $p_{\cdot j} > 0$ 时，称
$P(X = x_i \mid Y = y_j) = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$
为已知 $Y = y_j$ 时 $X$ 的条件分布列。同理，称
$P(Y = y_j \mid X = x_i) = \frac{p_{ij}}{p_{i \cdot}}$
为已知 $X = x_i$ 时 $Y$ 的条件分布列。

3.2.3 连续情形

对于连续型随机变量，由于对任意 $y$ 都有 $P(Y = y) = 0$，无法直接用条件概率计算。需通过极限方式定义条件分布函数：

设条件分布函数
$F(x \mid y) = P(X \leq x \mid Y = y)$
可视为当 $\Delta y \to 0$ 时 $P(X \leq x \mid y < Y \leq y + \Delta y)$ 的极限。通过推导可得：
$F(x \mid y) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\int_{-\infty}^x f(u, y) \, du \cdot \Delta y}{f_Y(y) \cdot \Delta y} = \frac{\int_{-\infty}^x f(u, y) \, du}{f_Y(y)}.$

定义3.6 若 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，称
$f(x \mid y) = \frac{f(x, y)}{f_Y(y)}$
为已知 $Y = y$ 时 $X$ 的条件概率密度。同理，称
$f(y \mid x) = \frac{f(x, y)}{f_X(x)}$
为已知 $X = x$ 时 $Y$ 的条件概率密度。

例3.7 二维正态分布的条件分布

若 $(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$，则：

1. 已知 $Y = y$ 时 $X$ 的条件概率密度为
   $f(x \mid y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}\sigma_1} \exp\left(-\frac{\left[x - \left(\mu_1 + \frac{\sigma_1}{\sigma_2}\rho(y - \mu_2)\right)\right]^2}{2(1-\rho^2)\sigma_1^2}\right).$
   此时 $X \mid Y = y$ 服从正态分布 $N\left(\mu_1 + \frac{\sigma_1}{\sigma_2}\rho(y - \mu_2), (1-\rho^2)\sigma_1^2\right)$。

2. 已知 $X = x$ 时 $Y$ 的条件概率密度为
   $f(y \mid x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}\sigma_2} \exp\left(-\frac{\left[y - \left(\mu_2 + \frac{\sigma_2}{\sigma_1}\rho(x - \mu_1)\right)\right]^2}{2(1-\rho^2)\sigma_2^2}\right).$
   此时 $Y \mid X = x$ 服从正态分布 $N\left(\mu_2 + \frac{\sigma_2}{\sigma_1}\rho(x - \mu_1), (1-\rho^2)\sigma_2^2\right)$。

结论：多维正态分布的条件分布仍为正态分布。