多维随机变量

二维随机变量

定义3.1（n维随机变量）

设$X_1,X_2,\dots,X_n$是定义在给定概率空间$(\Omega,\mathcal{F},P)$上的n个随机变量，则称：

为n维随机变量（或随机向量）。为简化记号，主要讨论二维情形，多维情形可类比推广。

定义3.2（联合分布与边缘分布）

设$(X,Y)$为二维随机变量：

1. 联合分布函数： $$F(x,y) = P(X \leq x,\ Y \leq y)$$
2. 边缘分布函数： $$F_X(x) = F(x,+\infty),\quad F_Y(y) = F(+\infty,y)$$

定理3.1（联合分布函数的性质）

设$F(x,y)$为$(X,Y)$的联合分布函数，则满足：

1. 有界性： $$0 \leq F(x,y) \leq 1,\quad \forall x,y \in \mathbb{R}$$
2. 单调性：
   • 对任意固定$y$，$F(x,y)$关于$x$单调非降
   • 对任意固定$x$，$F(x,y)$关于$y$单调非降
3. 右连续性： $$\lim_{h \to 0^+} F(x+h,y) = F(x,y),\quad \lim_{h \to 0^+} F(x,y+h) = F(x,y)$$
4. 边界条件： $$\begin{cases} F(-\infty,y) = F(x,-\infty) = 0 \\ F(+\infty,+\infty) = 1 \end{cases}$$
5. 矩形区域非负性： $$\forall x_1 \leq x_2,\ y_1 \leq y_2,\quad F(x_2,y_2) - F(x_1,y_2) - F(x_2,y_1) + F(x_1,y_1) \geq 0$$
6. 边缘分布关系： $$F(+\infty,y) = F_Y(y),\quad F(x,+\infty) = F_X(x)$$

定义3.3（二维离散型随机变量）

若二维随机变量$(X,Y)$只取有限或可列个值，则称$(X,Y)$为二维离散型随机变量，定义：

1. 联合分布列： $$P(X=x_i,\ Y=y_j) = p_{ij},\quad i,j=1,2,\ldots$$
2. 边缘分布列： $$P(X=x_i) = p_{i\cdot} = \sum_{j=1}^\infty p_{ij} \quad (\text{X边缘分布})$$ $$P(Y=y_j) = p_{\cdot j} = \sum_{i=1}^\infty p_{ij} \quad (\text{Y边缘分布})$$

离散型性质

1. 非负性：$\ p_{ij} \geq 0$
2. 归一性：$\ \sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty p_{ij} = 1$
3. 边缘分布公式：$\ p_{i\cdot} = \sum_j p_{ij}$，$\ p_{\cdot j} = \sum_i p_{ij}$
4. 概率计算：对任意$B \subseteq \mathbb{R}^2$且$\{(X,Y)\in B\}\in\mathcal{F}$， $$P((X,Y)\in B) = \sum_{(x_i,y_j)\in B} p_{ij}$$

定义3.4（二维连续型随机变量）

若存在非负可积函数$f(x,y)$使得二维随机变量$(X,Y)$的分布函数为：

则称$(X,Y)$为二维连续型随机变量，$f(x,y)$称为联合概率密度函数。

定理3.2（连续型性质）

设$(X,Y)$为二维连续型随机变量，则：

1. 归一性： $$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\ dx\ dy = 1$$
2. 区域概率：对任意Borel集$B \subseteq \mathbb{R}^2$， $$P((X,Y)\in B) = \iint_B f(x,y)\ dx\ dy$$
3. 密度与分布函数关系：在$f(x,y)$的连续点处， $$f(x,y) = \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y}$$
4. 边缘概率密度： $$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\ dy,\quad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\ dx$$

常见的C.R.V

Ⅰ. 二维均匀分布

定义3.3（二维均匀分布）

设区域$D \subset \mathbb{R}^2$，且其面积$m(D)$满足$0 < m(D) < +\infty$，则称具有以下概率密度的二维连续型随机变量$(X,Y)$服从区域$D$上的均匀分布：

记作：

核心特性

1. 区域等概率性：在区域$D$内每点概率密度恒定
2. 区域外零概率：在定义域外概率密度恒为0
3. 规范性：满足概率密度积分条件 $$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)dxdy = \frac{1}{m(D)}\iint_D dxdy = 1$$

Ⅱ. 二维正态分布

定义3.4（二维正态分布）

若二维连续型随机变量$(X,Y)$的概率密度函数为：

则称$(X,Y)$服从参数为$(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$的二维正态分布，记为：

参数说明

Ⅲ. 矩阵表示形式

协方差矩阵表示

记向量$\mathbf{x}=(x,y)^T$，均值向量$\mathbf{\mu}=(\mu_1,\mu_2)^T$，协方差矩阵：

则二维正态分布密度函数可表示为：