连续型随机变量(C.R.V)

概率密度

7. 连续型随机变量与概率密度函数

定义2.9
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，若存在非负可积函数 $f(x)$，使得对任意实数 $x$，有
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt \tag{2.4}
则称 $X$ 为连续型随机变量，$f(x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数。

概率密度的基本条件

概率密度函数 $f(x)$ 需满足以下条件：

1. 非负性：
   $f(x) \geq 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}$
2. 归范性：
   $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$

性质与说明

1. 分布函数与密度的关系：
   若 $f(x)$ 在点 $x$ 处连续，则分布函数 $F(x)$ 可导，且其导数为概率密度：
   $F'(x) = f(x).$

2. 零测集与概率密度的唯一性：

   • 在零测集（如有限个点或可列无限个点的集合）上改变 $f(x)$ 的值不影响积分结果，因此概率密度函数不唯一。
   • 实际应用中常选择具有较好性质的版本（如连续或分段连续函数），以便于分析和计算。

3. 概率密度的物理意义：

   • $f(x)$ 并非直接表示概率，而是概率的“密度”。
   • 概率通过积分计算，例如 $P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$。

常见的C.R.V及其分布

7.3 均匀分布

7.3.1 均匀分布定义

定义7.3.6（均匀分布）
设随机变量$X$的概率密度函数为：

其中$a < b$为实数，则称$X$服从区间$[a,\ b]$上的均匀分布，记为：

7.3.2 核心特性

概率密度函数特征：

1. 区间等概率性：在$[a,b]$区间内，概率密度恒定
2. 区间外零概率：在定义域外概率密度恒为0
3. 规范性：满足概率密度积分条件 $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a}dx = 1$$

分布函数表达式：

2 指数分布

2.11.1 指数分布定义

定义2.11（指数分布）
若随机变量$X$的概率密度函数为：

其中$\lambda > 0$为分布参数，则称$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，记为：

2.11.2 分布函数

当$x \geq 0$时，分布函数为：

生存函数为：

2.11.3 无记忆性定理

定理2.4（无记忆性）
取非负实值的随机变量$X$服从指数分布当且仅当满足：

该性质表明：已知设备已运行时间$x$，剩余寿命分布与全新设备寿命分布相同

3. 正态分布

3.1 正态分布定义

定义2.12（正态分布/高斯分布）
若随机变量$X$的概率密度函数为：

其中$\mu$为位置参数，$\sigma > 0$为尺度参数，则称$X$服从参数为$\mu,\sigma^2$的正态分布，记为：

若$\mu=0$，$\sigma=1$，则称$X$服从标准正态分布$N(0,1)$

标准正态分布函数的性质: $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$,特别的，$\Phi(0)=\frac{1}{2}$ 若$X~N(\mu,\sigma^2)$,则$F(x)=\Phi (\frac{x-\mu}{\sigma})$

随机变量函数的分布

分布函数法

当随机变量 $Y = g(X)$ 为连续型时，可通过以下步骤求其概率密度：

1. 求分布函数：$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = \int_{g(x) \leq y} f_X(x) \, dx$
2. 求导得密度：$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y)$

关键公式

定理2.5：单调变换的概率密度转换

定理内容：
设随机变量$X$的概率密度为$f_X(x)$。若函数$y = g(x)$满足：

1. 严格单调性
2. 存在反函数$x = g^{-1}(y)$
3. 反函数$g^{-1}(y)$具有连续导数

则随机变量$Y = g(X)$的概率密度函数为：

其中$(\alpha,\ \beta)$是$g(x)$的值域范围。

推论2.1：分段变换的概率密度转换

推论内容：
设随机变量$X$的概率密度为$f_X(x)$。若函数$g(x)$在不相交区间$\{I_k\}_{k=1}^\infty$上分段满足：

1. 在各区间$I_k$上严格单调
2. 存在分段反函数$x = g_k^{-1}(y)$
3. 各分段反函数$g_k^{-1}(y)$具有连续导数

则随机变量$Y = g(X)$的概率密度函数为：