随机变量及其分布函数

定义2.1 随机变量

设$E$为随机试验，$\Omega$为其样本空间，$\mathscr{F}$为$\Omega$上的$\sigma$-域。称$\Omega$上的实值函数$X$为​​随机变量​​，当且仅当满足：

$$\forall x \in \mathbb{R},\quad \{\omega \in \Omega : X(\omega) \leq x\} \in \mathscr{F}$$

定义2.2 分布函数

设$X$为随机变量，对任意实数$x$，定义：

$$F_X(x) = P(X \leqslant x)$$

称函数$F_X(x)$为随机变量$X$的​​分布函数​​（Distribution Function）。

定理2.1 分布函数基本性质（充要条件）

设$F(x)$为随机变量$X$的分布函数，则$F(x)$具有以下性质：

1. ​​单调非降性​​
   对任意实数x_1 < x_2，有：

   $$F(x_1) \leq F(x_2)$$

2. ​​右连续性​​
   对任意实数$a$，满足：

   $$\lim_{x \to a^+} F(x) = F(a)$$

3. ​​规范性​​
   满足极限条件：

   $$\begin{cases} F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \\ F(+\infty) = \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 \end{cases}$$

4. $P(x<X)=F(x^-)$

说明

1. 单调性体现了概率累积的不可逆性
   x_1 &lt; x_2 \Rightarrow P(X \leq x_1) \leq P(X \leq x_2)

2. 右连续性是概率测度可列可加性的直接结果
   \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0,\ 当\ 0 &lt; h &lt; \delta\ 时,\ |F(a+h) - F(a)| &lt; \varepsilon

3. 规范性保证概率空间的完备性
   $\int_{-\infty}^{+\infty} dF(x) = 1$