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d(x,y)=∣x−y∣ 下，任意Cauchy序列都能在 $K$ 中收敛，那么称 $(K,|\cdot|)$ 为完备域。

直观类比

完备域就像一条平整、无缝的跑道：无论你怎样“疾驰”或“疲软”，所有努力收敛的序列（运动员）都能顺利抵达终点。

典型例子

$\Bbb R$ （实数域，常见的有理数在这里“补洞”后才成完备）

$\Bbb C$ （复数域，自带完备）

$\Bbb Q_p$ （ $p$ -进数域，对有理数按 $p$ -进绝对值补全）

更一般地，若 $K$ 是带绝对值的域，其完备化 $\widehat K$ 总是一个完备域。

正常数域（正规数域）是什么？定义在代数数论中，把一个代数扩张 $L/K$ 叫做正规扩张（normal extension），若对于 $L$ 中任意元素 $\alpha$ ，它的所有共轭根（即在某个分裂域中所有与 $\alpha$ 满足同一多项式的根）都落在 $L$ 里。

直观类比

正规域就像一张抓捕令——只要你在它的“逮捕令”名单上（多项式的所有根），就一定被圈在扩张域里，不会跑丢。

典型例子

$\Bbb Q(\sqrt2)$ ：多项式 $x^2-2$ 的两个根 $\pm\sqrt2$ 都在域里，属于正规扩张。

$\Bbb Q(\sqrt[3]2)$ ：多项式 $x^3-2$ 的三个根不全在里面（其余两个是复数），不是正规扩张。

Galois扩张（既正规又可分）更是神器，满满的“对称性”与“可拆解”优势。

两者有什么区别？特性类别完备数域正常（正规）数域所属领域分析／度量性质代数／扩张结构性质关注点序列收敛、度量空间的完整性多项式根的完备性、扩张的对称性典型条件序列 ${x_n}$ ，若 $d(x_n,x_m)\to0$ ，则 $x_n\to x\in K$ 任取 $\alpha\in L$ ，其最小多项式的所有根都在 $L$ 中例子 $\Bbb R,;\Bbb C,;\Bbb Q_p$ $\Bbb Q(\sqrt2)$ （正规）， $\Bbb Q(\sqrt[3]2)$ （非正规）二者关系完备性与正规性没有直接关联——一个域可以只完备（如 $\Bbb Q_p$ ），也可以只正规（如 $\Bbb Q(\sqrt2)$ ），更可以二者兼备（如 $\Bbb C_p$ ： $p$ -进代数闭完备域） —

小结完备数域：关心距离与极限，不怕“洞”——只要你加够了收敛的点，就算完备。

正常数域：关心代数对称性，不怕“漏”——只要多项式的所有根都收集齐了，就是正规。

两者本质上毫不相干，你可以在自己的研究中“专心孤立”：要研究序列与极限就用完备域，要研究多项式根与扩张就用正规域。做题时别把它们搞成“数域合体”怪物，除非你真的需要同时玩分析和代数的“双修”！

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